Ejercicios Resueltos: Distancia, Rectas Y Circunferencias

¡Hola, chicos! En este artículo, vamos a sumergirnos en algunos ejercicios prácticos sobre temas clave de geometría analítica. Nos enfocaremos en la distancia y el punto medio entre dos puntos, la ecuación de una recta en sus formas explícita e implícita, la distancia de un punto a una recta, las rectas paralelas y perpendiculares, y finalmente, la circunferencia. ¡Prepárense para fortalecer sus habilidades y comprender mejor estos conceptos!

Evidencia 1.2: Distancia, Punto Medio y Rectas

Distancia entre Dos Puntos

Cuando hablamos de distancia entre dos puntos, nos referimos a la longitud del segmento de línea recta que los conecta. Para calcular esta distancia en un plano cartesiano, utilizamos la famosa fórmula derivada del teorema de Pitágoras. ¡Así es, ese teorema que todos amamos (o al menos reconocemos su importancia)!

La fórmula es la siguiente:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) 

Donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas de los dos puntos en cuestión. Pero, ¿qué significa esto realmente? Bueno, imaginemos que tenemos dos puntos en un mapa. La fórmula nos dice que la distancia entre ellos es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de sus coordenadas x e y. En otras palabras, estamos calculando la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde los catetos son las diferencias en las coordenadas.

Comprender la fórmula es crucial, pero aún más importante es saber aplicarla. Para hacerlo, vamos a ver un ejemplo práctico. Supongamos que tenemos los puntos A(2, 3) y B(5, 7). Queremos encontrar la distancia entre ellos. Primero, identificamos nuestras coordenadas: x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 5, y₂ = 7. Luego, sustituimos estos valores en la fórmula:

d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

¡Voilà! La distancia entre los puntos A y B es de 5 unidades. Este proceso puede parecer sencillo, pero es fundamental para resolver problemas más complejos en geometría analítica. La clave está en identificar correctamente las coordenadas y aplicar la fórmula con precisión. No se preocupen si al principio les cuesta un poco; la práctica hace al maestro.

Además de la aplicación directa de la fórmula, es importante entender el concepto geométrico detrás de ella. Visualizar los puntos en un plano cartesiano y trazar el triángulo rectángulo imaginario puede ayudar a solidificar la comprensión. Experimenten con diferentes puntos y calculen sus distancias. Verán cómo la fórmula se convierte en una herramienta poderosa para resolver problemas de distancia en una variedad de contextos.

Punto Medio entre Dos Puntos

El punto medio entre dos puntos es, como su nombre indica, el punto que se encuentra exactamente a la mitad del segmento de línea que los une. Calcular el punto medio es sorprendentemente sencillo, ¡y aquí les va la fórmula mágica! Para encontrar las coordenadas del punto medio M(xm, ym) entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), utilizamos las siguientes fórmulas:

xm = (x₁ + x₂) / 2
ym = (y₁ + y₂) / 2

En esencia, estamos promediando las coordenadas x e y de los dos puntos. Esto significa que la coordenada x del punto medio es el promedio de las coordenadas x de los puntos originales, y lo mismo ocurre con las coordenadas y. Este concepto es intuitivo y fácil de recordar: simplemente sumamos las coordenadas correspondientes y dividimos entre dos.

Volvamos a nuestro ejemplo anterior con los puntos A(2, 3) y B(5, 7). Para encontrar el punto medio, aplicamos las fórmulas:

xm = (2 + 5) / 2 = 7 / 2 = 3.5
ym = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5

Por lo tanto, el punto medio entre A y B es M(3.5, 5). Gráficamente, este punto se encuentra en el centro exacto del segmento de línea que conecta A y B. Este concepto es fundamental no solo en geometría analítica, sino también en otras áreas de las matemáticas y la física, donde a menudo necesitamos encontrar el punto central de un objeto o trayectoria.

El cálculo del punto medio tiene diversas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, en diseño gráfico, se utiliza para centrar objetos o texto. En navegación, se puede utilizar para determinar el punto medio de un viaje. En ingeniería, se utiliza para calcular el centro de masa de una estructura. La belleza de esta fórmula radica en su simplicidad y versatilidad. Una vez que la dominan, pueden aplicarla en una amplia gama de situaciones.

Para afianzar su comprensión, les recomiendo practicar con diferentes pares de puntos. Intenten visualizar el punto medio en un plano cartesiano y verifiquen que realmente se encuentra a la mitad del segmento. Pueden incluso crear sus propios ejercicios y desafiarse a sí mismos. ¡La práctica constante es la clave para dominar cualquier concepto matemático!

Ecuación de la Recta: Forma Explícita e Implícita

Las rectas son uno de los objetos geométricos más fundamentales, y comprender sus ecuaciones es crucial en geometría analítica. Existen diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, pero nos centraremos en dos de las más comunes: la forma explícita y la forma implícita.

Forma Explícita

La forma explícita de la ecuación de una recta es la que probablemente hayan visto con más frecuencia. Se expresa como:

y = mx + b

Donde:

• y es la variable dependiente (la coordenada vertical).
• x es la variable independiente (la coordenada horizontal).
• m es la pendiente de la recta, que indica su inclinación.
• b es el punto de corte con el eje y, es decir, el valor de y cuando x es igual a cero.

La pendiente m es un concepto clave. Representa el cambio en y por cada unidad de cambio en x. Si m es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha; si es negativa, la recta desciende. Si m es cero, la recta es horizontal.

El punto de corte con el eje y, b, es el valor de y donde la recta cruza el eje vertical. Este punto es fácil de identificar en la forma explícita, lo que la convierte en una forma útil para graficar rectas.

Por ejemplo, consideremos la ecuación y = 2x + 1. En esta ecuación, la pendiente m es 2, lo que significa que por cada unidad que nos movemos hacia la derecha en el eje x, la recta sube 2 unidades en el eje y. El punto de corte con el eje y es 1, lo que significa que la recta cruza el eje y en el punto (0, 1).

Para graficar una recta en forma explícita, podemos seguir estos pasos:

1. Identificar la pendiente m y el punto de corte con el eje y, b.
2. Graficar el punto de corte con el eje y (0, b).
3. Utilizar la pendiente m para encontrar otro punto en la recta. Recuerden que la pendiente es el cambio en y dividido por el cambio en x. Por ejemplo, si la pendiente es 2, podemos movernos 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para encontrar otro punto.
4. Conectar los dos puntos con una línea recta.

Forma Implícita

La forma implícita de la ecuación de una recta se expresa como:

Ax + By + C = 0

Donde A, B y C son constantes. A diferencia de la forma explícita, en la forma implícita ni x ni y están aisladas en un lado de la ecuación. Aunque puede parecer menos intuitiva al principio, la forma implícita tiene sus propias ventajas.

Una de las ventajas de la forma implícita es que puede representar cualquier recta, incluyendo las rectas verticales. Las rectas verticales no pueden ser representadas en la forma explícita porque su pendiente es indefinida (división por cero). Sin embargo, en la forma implícita, una recta vertical simplemente tiene la forma Ax + C = 0 (donde B es cero).

Para convertir una ecuación de la forma implícita a la forma explícita, simplemente necesitamos despejar y:

Ax + By + C = 0
By = -Ax - C
y = (-A/B)x - (C/B)

Ahora podemos identificar la pendiente m = -A/B y el punto de corte con el eje y, b = -C/B. Sin embargo, recuerden que esta conversión solo es posible si B no es cero. Si B es cero, la recta es vertical y no tiene una forma explícita.

Por ejemplo, consideremos la ecuación 3x + 2y - 6 = 0. Para convertirla a la forma explícita, despejamos y:

2y = -3x + 6
y = (-3/2)x + 3

Ahora sabemos que la pendiente es -3/2 y el punto de corte con el eje y es 3.

Tanto la forma explícita como la implícita son herramientas poderosas para trabajar con rectas. La forma explícita es útil para visualizar la pendiente y el punto de corte con el eje y, mientras que la forma implícita es más general y puede representar cualquier recta. Dominar ambas formas les dará una flexibilidad invaluable en la resolución de problemas de geometría analítica.

Distancia de un Punto a una Recta

A veces necesitamos saber qué tan lejos está un punto de una recta. No nos referimos a la distancia medida en cualquier dirección, sino a la distancia más corta, que es la perpendicular desde el punto hasta la recta. Calcular esta distancia requiere una fórmula específica, pero no se preocupen, ¡la desglosaremos paso a paso!

La fórmula para la distancia d de un punto P(x₀, y₀) a una recta en su forma implícita Ax + By + C = 0 es:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

¡Vaya! Puede parecer un poco intimidante al principio, pero vamos a analizarla. Primero, observen que tenemos barras de valor absoluto (| |) en el numerador. Esto significa que la distancia siempre será un valor positivo, lo cual tiene sentido, ya que la distancia no puede ser negativa.

El numerador |Ax₀ + By₀ + C| es el valor absoluto de la expresión que obtenemos al sustituir las coordenadas del punto (x₀, y₀) en el lado izquierdo de la ecuación de la recta en su forma implícita. Esto nos da una medida de qué tan